中考試題一般都源于教材，是教材知識(shí)的的延伸，或拓展，現(xiàn)舉一例說(shuō)明。

  原題：（人教版七年級(jí)下， 26頁(yè)第6題 （2） ）

2007年中考試題：

如圖2，直線，連結(jié)，直線及線段把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在某個(gè)部分時(shí)，連結(jié)，構(gòu)成，，三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是角．）

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第①部分時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第②部分時(shí)，是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在第③部分時(shí)，全面探究，，之間的關(guān)系，并寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．

分析：

這是一道開(kāi)放型試題，這類試題已成為各地中考的必考試題。開(kāi)放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開(kāi)放題的前提；結(jié)構(gòu)的多樣性，它是開(kāi)放題的目標(biāo)；思維的多向性，它是開(kāi)放題的實(shí)質(zhì)；解答的層次性，它是開(kāi)放題的表象；過(guò)程的探究性，它是開(kāi)放題的途徑；知識(shí)的綜合性，它是開(kāi)放題的深化；情景的模擬性，它是開(kāi)放題的實(shí)踐；內(nèi)涵的發(fā)展性，它是開(kāi)放題的認(rèn)識(shí)。過(guò)程開(kāi)放或結(jié)論開(kāi)放的問(wèn)題能形成考生積極探究問(wèn)題情景，鼓勵(lì)學(xué)生多角度、多側(cè)面、多層次地思考問(wèn)題，有助于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的潛在能力。本題的第一問(wèn)結(jié)論確定，但是P點(diǎn)的具體位置不確定，需要學(xué)生大膽假設(shè)確定其位置，可以得到多種證明方法；第二問(wèn)，實(shí)際就轉(zhuǎn)化為了前面提到的教材的原型，而要求直接作答難度相對(duì)較小，顯然不成立；第三問(wèn)，開(kāi)放性比較強(qiáng)，需要對(duì)結(jié)論進(jìn)行探索，并且需要分類討論。

解：（1）解法一：如圖9-1，延長(zhǎng)BP交直線AC于點(diǎn)E           

∵ AC∥BD  , ∴ ∠PEA = ∠PBD . 

∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,     

∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD . 

解法二：如圖9-2，過(guò)點(diǎn)P作FP∥AC ,                 

∴ ∠PAC = ∠APF .              

∵ AC∥BD ,   ∴FP∥BD .             

∴ ∠FPB =∠PBD .                   

 ∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC  + ∠PBD .

解法三：如圖9-3，

∵ AC∥BD ,  ∴ ∠CAB +∠ABD = 180° 

即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.

又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,     

∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .            

（2）不成立.                        

（3）(a)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是

∠PBD=∠PAC+∠APB .

(b)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA上，

結(jié)論是∠PBD =∠PAC +∠APB .

或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，

∠PAC =∠PBD（任寫(xiě)一個(gè)即可）.

(c) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線BA的左側(cè)時(shí)，

結(jié)論是∠PAC =∠APB +∠PBD .      

選擇(a) 證明：

如圖9-4，連接PA，連接PB交AC于M

    ∵ AC∥BD ,

∴ ∠PMC =∠PBD .

又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,

∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .     

選擇(b) 證明：如圖9-5 ，

∵ 點(diǎn)P在射線BA上，∴∠APB = 0°.

∵ AC∥BD ,  ∴∠PBD =∠PAC .  

∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB

或∠PAC =∠PBD+∠APB 

或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.                         

選擇(c) 證明：

如圖9-6，連接PA，連接PB交AC于F

∵ AC∥BD ,       ∴∠PFA =∠PBD .

∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,

∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .  

溫馨提示：所謂的開(kāi)放型試題是指那些條件不完整，結(jié)論不確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，常見(jiàn)的類型有條件觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結(jié)論，對(duì)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)想像、擴(kuò)散、概括、隱喻等水平思維能力的探索創(chuàng)新能力十分有利，是今后中考的必考的題型。開(kāi)放型試題重在開(kāi)發(fā)思維，促進(jìn)創(chuàng)新，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以是近幾年中考試題的熱點(diǎn)考題。觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證是科學(xué)思維方法，是新課標(biāo)思維能力新添的內(nèi)容，學(xué)習(xí)中應(yīng)重視并應(yīng)用。而要想做好此類試題我認(rèn)為應(yīng)從教材入手，教材中的習(xí)題和例題都有一定的探索性，我們只有立足教材充分發(fā)揮習(xí)題的作用，反復(fù)推敲，對(duì)習(xí)題進(jìn)行一題多解和一題多變的變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)探索知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力，有利于鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)展創(chuàng)新思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。