據(jù)傳，阿基里斯(Achilles)是古希臘神話中善于行走的神，他走的速度很快，即使是世界上跑得最快的人也沒(méi)法與他相比。

    古希臘有一位哲學(xué)家叫芝諾(Zeno of Elea)，他的學(xué)生們都對(duì)他推崇備至，認(rèn)為他對(duì)天下之事無(wú)所不知，無(wú)所不曉。然而有一天，芝諾在給學(xué)生上課時(shí)卻提出了這樣一個(gè)斷言：阿基里斯是跑得很快的，可是，若讓他與烏龜一起賽跑，卻永遠(yuǎn)不能追上一只慢慢爬行的烏龜。

     聽(tīng)了老師的講話，學(xué)生們個(gè)個(gè)感到驚奇和意外。阿基里斯與烏龜賽跑，那是輕而易舉就可追上烏龜?shù)?，這是眾所周知的事實(shí)，可知識(shí)淵博的老師怎么會(huì)說(shuō)出這樣的奇談怪論呢？難道老師連起碼的常識(shí)都忘了嗎？學(xué)生們都不解地望著老師，一位學(xué)生終于大膽地提出了存于心中的疑問(wèn)：“老師，您能告訴我們?yōu)槭裁窗⒒锼棺凡簧蠟觚攩幔?/span>”

      芝諾回答道：“這個(gè)問(wèn)題我自己也一直沒(méi)能夠解決。”

     學(xué)生們更加奇怪了，大家你看看我，我看看你，誰(shuí)也不明白老師今天上課的用意何在，芝諾也是一副陷入沉思的樣子。

     過(guò)了許久，芝諾抬起頭來(lái)，他終于答應(yīng)把自己的研究了很長(zhǎng)時(shí)間的問(wèn)題講述給學(xué)生們。

      為了方便起見(jiàn)，我們假設(shè)阿基里斯與烏龜賽跑時(shí)阿基里斯的速度是每小時(shí)行走10千米，而烏龜?shù)乃俣仁敲啃r(shí)爬1千米。比賽是在對(duì)雙方都很公平的條件下進(jìn)行的，并且阿基里斯在烏龜后面10千米。比賽開(kāi)始時(shí)，二者同時(shí)出發(fā)，烏龜在前面爬，阿基里斯在后面追。這樣的話，問(wèn)題就出來(lái)了。

     1小時(shí)以后，當(dāng)阿基里斯走了10千米，到達(dá)烏龜原來(lái)出發(fā)的位置時(shí)，烏龜又爬到前面1千米的地方；

     1/10小時(shí)以后，阿基里斯追了1千米，烏龜又向前爬了1/10千米；

     1/100小時(shí)以后，阿基里斯追了1/10千米，烏龜又向前爬了1/100千米；

      ……

      如此下去，阿基里斯與烏龜之間的距離雖然越來(lái)越接近，但阿基里斯卻永遠(yuǎn)追不上烏龜。

      芝諾講到這里，他的學(xué)生們卻個(gè)個(gè)都愣住了。他們心里都明白老師的說(shuō)法是錯(cuò)的，是與常理相悖的，但誰(shuí)也無(wú)法指出他錯(cuò)在哪里，就連芝諾自己不都說(shuō)了還在研究嗎？

      其實(shí)，這是芝諾在作詭辯，這也就是后人所稱的著名的“芝諾悖論”，它的提出促使了人們對(duì)無(wú)窮小量的研究，甚至引起了一場(chǎng)數(shù)學(xué)觀念上的革命。因?yàn)楫?dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，無(wú)限多個(gè)很小的量的和必定為無(wú)限大。而在芝諾悖論中，芝諾巧妙地鉆了空子，把有限長(zhǎng)的線段分成了無(wú)限多個(gè)很小線段的和，把有限的時(shí)間可以完成的運(yùn)動(dòng)分成了無(wú)限多段很短的時(shí)間來(lái)完成。后來(lái)，人們終于弄清楚，無(wú)限多個(gè)很小的量的和未必一定是無(wú)限大，而可能是有限的。

      在上面的芝諾悖論中，用我們現(xiàn)在的根限知識(shí)是很容易揭穿這一詭辯的。阿基里斯追烏龜時(shí)，走完第一段路程需要1小時(shí)，走完第二段路程需1/10小時(shí)，走完第三段路程需1/100小時(shí)，……，這樣，追上烏龜共需的時(shí)間為

      1+1/10+1/100+…=1.11…=10/9 (小時(shí))

     而這是一個(gè)有限數(shù)，說(shuō)明阿基里斯追上烏龜只需要10/9小時(shí)，這對(duì)阿基里斯來(lái)說(shuō)自然是很快的了。需要說(shuō)明的是：利用高中無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的知識(shí)，還可以作嚴(yán)格的推論。